Ottův slovník naučný/Polygonální čísla

Šablona:NavigacePaP Šablona:Textinfo Šablona:Forma Polygonální čísla čili Šablona:Prostrkaně neb Šablona:Prostrkaně náležejí mezi čísla řečená obrazcová a odvozují se z pravidelných mnohoúhelníků čili polygonů. Slovou tak proto, že jejich jednotky lze sestaviti v pravidelné podobné mnohoúhelníky. Položíme-li za základ pravidelný mnohoúhelník, mající p rohů a p stran, bude patrně první číslo řady polygonální jako vůbec první číslo obrazcové 1, druhé pak p, třetí obdržíme, připojíme-li počet bodů, které vzniknou zdvojením délky stran, totiž tolik, kolik jest rohů, vyjmouc první, tedy $(p-1)$, a pak ještě tolik středních bodů, kolik jest stran, vyjmouc dvě v prvním rohu se stýkající, jejichž střední body byly již jako rohové počítány, tedy další $(p-2)$ body, tak že se tu sejde bodů $p+(p-1)+(p-2)=3p-3$. Znajíce první tři členy arithmetické řady stupně druhého, jakou jest řada $1,p,3p-3$, stanovíme pak ostatní. Řada čísel lichorohých pak bude: trigonálních 1, 3, 6 podle vzoru $\frac{1}{2}(n^2+n)$, pentagonálních 1, 5, 12 podle vzoru $\frac{1}{2}(3n^2-n)$, heptagonálních 1, 7, 18 podle vzoru $\frac{1}{2}(5n^2-3n)$, nonagonálních 1, 9, 24 podle vzoru $\frac{1}{2}(7n^2-5n)$ atd. a řada čísel sudorohých: tetragonálních 1, 4, 9 podle vzoru $n^2$, hexagonálních 1, 6, 15 podle vzoru $2n^2-n$, oktagonálních 1, 8, 21 podle vzoru $3n^2-2n$, dekagonálních 1, 10, 27 podle vzoru $4n^2-3n$ atd. Obecný tvar p-rohého čísla jest $\frac{n}{2}[(n-1)(p-2)+2]$. Č. p. uvádí již Nikomachos, až na Diophanta nejvýtečnější počtář řecký (100 po Kr.). Čísla trigonální čili trojrohá lze znázorniti: