Ottův slovník naučný/Limita

Šablona:NavigacePaP Šablona:Textinfo Šablona:Forma Limita neboli Šablona:Prostrkaně veličiny proměnné x nazývá se hodnota určitá, konstantní, ke které se tato proměnná do nekonečna, bez přestání, blíží, tak že se liší od ní tak málo, jak chceme. Veličina Šablona:Prostrkaně, která do nekonečna bez přestání se $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{zvětšuje}}{\text{zmenšuje}}\right\}$, projde hodnoty $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{větší}}{\text{menší}}\right\}$, nežli jsou sebe $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{větší}}{\text{menší}}\right\}$ Šablona:Prostrkaně, t. j. stává se $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{nekonečně velikou}}{\text{nekonečně malou}}\right\}$. Tomuto bezmeznému $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{zvětšování}}{\text{zmenšování}}\right\}$ dostalo se symbolického výrazu slovem Šablona:Prostrkaně, Šablona:Prostrkaně, tak že píše se o proměnné veličině x do nekonečna bez přestání se $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{zvětšující}\lim x=\mathrm{\infty }}{\text{zmenšující}\lim x=0}\right\}$, t. j. limita x rovná se $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\text{nekonečnému}}{\text{nulle}}\right\}$.

O hodnotách v nekonečném počtu, kterých nabývá nějaká proměnná veličina, pravíme, že mají mez čili l-tu, kterou zoveme M, je-li rozdíl mezi proměnnou a hodnotou M — od určitého místa — číselně stále menší než libovolně dané kladné číslo; pravíme, že mají l-tu nekonečně velikou ($\mathrm{\infty }$), jsou-li hodnoty proměnné — od jistého místa — větší než libovolné dané kladné číslo, a l-tu $-\mathrm{\infty }$ tehdy, mají-li záporně vzaté hodnoty proměnné l-tu $+\mathrm{\infty }$. Dle této definice má proměnná x za l-tu nullu, nabývá-li hodnot stále menších, klesajících číselně pod libovolně dané kladné číslo; při tom proměnná x hodnoty nully dosáhnouti nemusí. Určitá, sebe menší, hodnota není nekonečně malou — je Šablona:Prostrkaně. Tak na př. nulla není nekonečně malou hodnotou; sin x jest nekonečně malá hodnota v případě $\lim x=0$ neboť $\lim \sin x=0$. Hodnoty $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, …, $\frac{1}{n}$, … mají za l-tu patrně 0, nedosáhnou však této meze.

Obvody vepsaných neb opsaných pravidelných n-úhelníků mají za l-tu obvod kružnice.

Veličinu x nazýváme nekonečně velikou hodnotou, je-li x Šablona:Prostrkaně, jejíž l. jest nekonečná ($\mathrm{\infty }$), t. j. rostoucí nad každé číslo. Nekonečně velikou veličinou jest na př. ctg x pro $\lim x=0$, neboť ctg x jest nekonečně veliká, je-li x nekonečně malé. Nabývá-li proměnná hodnot v nekonečném počtu u₁, u₂, u₃, …, mají tyto hodnoty l-tu M, $\lim u_n=M$ pro $\lim n=\mathrm{\infty }$, je-li v platnosti při libovolném kladném ε nerovnost $|u_n-M|<\epsilon$, jakmile index n jest dosti velikým, t. j. jakmile n > p, kde p značí určité — obecně na ε závislé — celistvé číslo. Zde značí $|u_n-M|$ číselný (absolutní) obnos veličiny $u_n-M$. Obecně znamená |A| číselný obnos veličiny A; na př. |4| = 4, |−4| = 4. Hořejší hodnoty mají l-tu $\mathrm{\infty }$, $\lim u_n=\mathrm{\infty }$ pro $\lim n=\mathrm{\infty }$, platí-li při libovolném kladném ω, u_n > ω, kdež n > p, značí-li p opět určité, obecně na ω závislé celistvé číslo. Řecká filosofie se svými důmyslnými Šablona:Prostrkaně (viz Durdík, Dějepisný nástin filosofie řecké, str. 50 a násl.) pěstovala pouze hru s pojmy nekonečně velikého a nekonečně malého jakožto převratné hodnoty prvého, nechtějíc uznávati za veličinu skutečnou, co každé míře uniká, jsouc buď větší nežli největší, nebo menší nežli nejmenší veličina myslitelná, nedíc představitelná. A podobně dálo se i dále, tak že právě pěstování filosofie, příznivé ve vývoji theorie čísel, bylo nepříznivo vzniku a rozvoji infinitesimálního pojmu. Jakmile jednou brány do úvahy mathematické veličiny Šablona:Prostrkaně, byl pojem infinitesimální nutným postulátem této měnivosti, zmenšování i zvětšování bezmezného, tak že počalo se psáti o proměnné veličině x, do nekonečna bez přestání se zvětšující, $\lim x=\mathrm{\infty }$, $\lim \frac{1}{x}=0$. Pravíme, když $\lim x=\mathrm{\infty }$, t. j. nabývá-li x hodnot větších nad libovolné dané kladné číslo, že $\lim \frac{1}{x}=0$, t. j. hodnota $\frac{1}{x}$ při vzrůstajícím x liší se od nully o tak málo, jak kdo chce.

Zlomek, jehož čítatelem jest 1 a jmenovatelem by byla 1 s připojenými v pravo tolika nullami, kolik by jich napsali lidé všech věků, kdyby po celý život nully byli psali, zlomek takový jest nesmírně malý, avšak konečný. Zlomek ten jest tudíž větší nežli veličina nekonečně malá a tedy nedosáhne prosté čili absolutní hodnoty nully. Obyčejně se praví, že funkce $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ má hodnosti $\mathrm{\infty }$ pro x = 0, což jest nesprávně řečeno, ježto nekonečné v našich úvahách intervenuje jen při limitování; arciť jest v platnosti výrok, že $\lim f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$ při $\lim x=0$.

Důležité l-ty výrazů v differenciálním počtu nutné lze odvoditi ze základního limitního binomu mocninového

$\underset{m=\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{m})}^m=e$,

značí-li e basi logarithmů přirozených, neperických neboli hyperbolických. K této l-tě druží se ještě

$\underset{x=\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\text{su }x}{x}=1$

a oběma těmito l-mi jsou stanoveny vesměs základní vzorce differenciálního počtu. Konvergenci a divergenci nekonečných řad určují kriteria, která jsou l-mi. Stanovení tak zvaných Šablona:Prostrkaně neb Šablona:Prostrkaně, Šablona:Prostrkaně, redukuje se vůbec na stanovení l-ty podílů dvou funkcí, jež obě pro $\lim x=a$ mají 0 neb $\mathrm{\infty }$ za l-tu. Neurčitých tvarů jest sedm a to: $\frac{0}{0}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $0\cdot \mathrm{\infty }$, $0^0$, ${\mathrm{\infty }}^0$, $1^{\mathrm{\infty }}$. Mnemotechnické pamatování Šablona:Prostrkaně limitních výrazů, důležitých v počtu differenciálním, podává rychle tento počet sám, jehož fundamentální vzorce jsou zbudovány na oněch limitních výrazech, užijeme-li známého pravidla pro vyšetření neurčitého tvaru $\frac{0}{0}$.

Existuje-li limitní poloha tečny křivky pro případ, že se dotyčný bod vzdaluje do nekonečna, pak jest tato limitní poloha tečny asymptotou. Úvaha o pojmu l-ty přichází neustále ve všech odvětvích mathematických. Srv. Skřivan, Přednášky o algebraické analysi (Praha, 1865); Studnička F. J., Základové vyšší mathem. (díl I., Praha, 1868 [2. vyd. 1878]; díl II. t., 1871); t., Výklady o funkcích monoperiodických neboli o nižších funkcích transcendentních (t., 1892); t., O podstatě neurčitých výrazů algebraických $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, $\mathrm{\infty }\cdot 0$, … (»Časopis pro pěst. mathem. a fys.«, 1893); P. Plch C., Společný způsob dokazování různých pouček a vzorců na základě zkracování stálých poměrů proměnnými veličinami (t., 1881); Weyr Ed., Výklady o mathematice (lithografované předn., 1890); Serret, Cours de calcul différentiel et intégral (něm. překlad Harnackův, Lip., 1885, jehož 2. vyd. pořídil Bohlmann, t., 1897), Stolz, Grundzüge der Differencial- und Integralrechnung (t., 1893). AP. Šablona:Konec formy