Ottův slovník naučný/Differenciální počet

Šablona:NavigacePaP Šablona:Textinfo Differenciální počet učí vyhledávati differenciály daných [[../Funkce|funkcí]] (v. t.) na základě tomto: Závisí-li hodnota proměnné veličiny y na hudnotě jiné proměnné x způsobem stanoveným symbolicky výrazem funkcionálním $y=f(x)$ a zvětšíme-li hodnotu Šablona:Prostrkaně proměnné x o malou veličinu ∆x zvanou (∆ zastupuje slovo difference), tak že hodnota Šablona:Prostrkaně proměnné y se změní — zvětší nebo zmenší — o veličinu ∆y zvanou, bude tedy, jakož Šablona:Prostrkaně, $y+\Delta y=f(x+\Delta x)$, z čehož pak plyne se zřetelem k dané relaci $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$, tak že poměr obou těchto změn $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ vyjádřen jest co podíl mezi rozdílem dvou hodnot odvisle proměnné y, totiž $f(x+\Delta x)-f(x)$ a rozdílem Šablona:Prostrkaně dvou hodnot neodvisle proměnné x, totiž $(x+\Delta x)-x=\Delta x$.

Poněvadž této proměnné možno přiděliti postupně a nepřetržitě všechny číselné hodnoty mezi −∞ a +∞ ležící (∞ co symbol čísla nekonečně velkého zavedl John Wallis r. 1665), tak že rozdíl dvou po sobě jdoucích hodnot jest veličina Šablona:Prostrkaně, tedy menší nežli kterákoli veličina malá, což vyjadřujeme též rčením, že se do nekonečna blíží nulle, že má za Šablona:Prostrkaně hodnotu čili Šablona:Prostrkaně 0, stanovíme zároveň platností $\lim \Delta x=0$, že příslušná změna odvisle proměnné y, vyjádřená obdobným symbolem ∆y, má současně též nullu za limitu. A tu tedy Šablona:Prostrkaně, že nekonečně malá změna neodvisle proměnné x způsobuje Šablona:Prostrkaně nekonečně malou změnu odvisle proměnné y, načež limita poměru těchto differencí nazývá se poměrem příslušných Šablona:Prostrkaně, tak že platí a se píše (d zastupuje slovo Šablona:Prostrkaně) $\lim \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x=0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$; jiný pak způsob označení užívá symbolu $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)=D_{x}f(x)$, což zavedl Šablona:Prostrkaně a Šablona:Prostrkaně (D_x zastupuje rčení: derivace podle x).

Jakož funkce f(x) jest Šablona:Prostrkaně neboli Šablona:Prostrkaně, sluje funkce f'(x) Šablona:Prostrkaně neb její Šablona:Prostrkaně. Nauka, podle níž se stanoví f'(x) funkci f(x) příslušné, sluje pak Šablona:Prostrkaně. A poněvadž z poslední relace plyne $dy=f^{\prime }(x).dx=D_{x}f(x).dx$, obdrží se Šablona:Prostrkaně odvisle proměnné co součin derivace příslušné funkce s differenciálem neodvisle proměnné, tak že nauka, podle níž se stanoví differenciál daných funkcí, jest předmětem Šablona:Prostrkaně. Z čehož patrno, že počet derivační a differenciální se v podstatě od sebe neliší.

Jestli tedy na př. $y=2x^2+3x+4$, bude podlé tohoto výměru napřed $y+\Delta y=2(x+\Delta x{)}^2+3(x+\Delta x)+4$, načež obdržíme bez vymezení $\frac{\Delta y}{\Delta x}=4x+3+2\Delta x$, a přejdeme-li k limitám, konečně $\frac{dy}{dx}=4x+3$, což představuje Šablona:Prostrkaně předložené funkce, z níž plyne $dy=4xdx+3dx$ co její Šablona:Prostrkaně.

Velmi dobře objasňuje nový tento pojem význam jeho v nauce o křivkách rovinných. Vyjadřuje-li rovnice $y=f(x)$ v pravoúhlých souřadnicích nějakou křivku, jejíž čásť souvislou představuje AB v obraze vedlejším, tak že OC=x, CA=y, CD=∆x. DB=y+∆y, obdržíme, vedouce AE∥CD a pojíce bod A přímkou s bodem B ∡BAE=σ, tak že EB=∆y a tedy $\tan \sigma =\frac{BE}{AE}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Šablona:Rozšířit Blíží-li se pak bod D do nekonečna bodu C, tak že lim ∆x=0, blíží se bod B taktéž do nekonečna bodu A, čímž sečna AB sváží se dopevné polohy AT, tečnou bodu A dané, úhel σ pak přechází v úhel TAE=τ, jejž svírá tečna AT s osou úseček, tak že konečně bude $\lim \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dy}=f^{\prime }(x)=\tan \tau$. Derivace naší funkce značí tedy trigonometrickou tangentu úhlu, jejž svírá tečna příslušného bodu s osou úseček. Jestli pak τ=0, tečna tedy rovnoběžnou s osou úseček, jest příslušná pořadnice buď větší nebo menší nežli pořadnice předcházející a následující, tak že příslušný bod křivky jest tu Šablona:Prostrkaně, funkce pak dosahuje současně hodnoty Šablona:Prostrkaně neb Šablona:Prostrkaně. Kdyby na př. určiti bylo úhel, jejž svírá tečna křivky známou rovnicí $y=2x^2+3x+4$ dané s osou úseček v bodě, jehož x=−1, Obdržíme dle dřívějšího výsledku $y^{\prime }=4x+3$, dosadíme-li tam za x tuto hodnotu, y'=−1 = tg τ, z čehož patrno, že τ=135°. A kdybychom chtěli věděti, pro jakou hodnotu úsečky vyskytuje se u předložené křivky vrchol, maximum nebo minimum pořadnice, učiňme $y^{\prime }=4x+3=0$ z čehož plyne x=−¾, tak že dosadíce tuto hodnotu do rovnice křivky, zjednáme si pro příslušné y hodnotu 2⅞.

Z čehož i pochopitelno, jak vedlo všeobecné řešení úkolu tangentního a úkolu maxima nebo minima k ustálení pojmu derivačního a vyvinutí počtu differenciálního.

Poněvadž možno derivaci dané funkce nějaké všeobecně považovati za funkci původní a k ní vyšetřiti příslušnou derivaci, obdrží se tímto způsobem derivace Šablona:Prostrkaně, jakož i podobně derivace Šablona:Prostrkaně, Šablona:Prostrkaně, … n-tá a tudy též differenciál Šablona:Prostrkaně, též Šablona:Prostrkaně zvaný, pak d. Šablona:Prostrkaně, Šablona:Prostrkaně, …, n-tý.

Podle toho máme na př. pro $y^{\prime }=4x+3=0$ příslušnou derivaci druhou $\frac{d{f}^{\prime }(x)}{dx}=\lim \frac{4(x+\Delta x)+3-(4x+3)}{\Delta x}=4$, načež třetí a všechny další derivace jsou zde nullou, poněvadž derivace veličiny stálé jest vůbec 0.

Způsob, jak označují se takovéto Šablona:Prostrkaně derivace neb differenciální poměry, totiž $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=y^{″}=f^{″}(x)=D_x^{2}f(x)$,
$\frac{d^{3}y}{d{x}^3}=y^{‴}=f^{‴}(x)=D_x^{3}f(x)$,
…
$\frac{d^{k}y}{d{x}^k}=y^{(k)}=f^{(k)}(x)=D_x^{k}f(x)$, vede pak k označení vyšších differenciálů a sice $d^{2}y=f^{″}(x).d{x}^2=D_x^{2}f(x).d{x}^2$,
$d^{3}y=f^{‴}(x).d{x}^3=D_x^{3}f(x).d{x}^3$,
…
$d^{k}y=f^{(k)}(x).d{x}^k=D_x^{k}f(x).d{x}^k$. Předložena-li však proměnná z, závislá na dvou neodvisle proměnných x a y, jako na př. závisí váha nějakého tělesa i na jeho velikosti i na jeho hutnosti, tak že závislost tu všeobecně vyjádřena výrazem symbolickým $z=F(x,y)$, nutno rozeznávati Šablona:Prostrkaně změny její a sice souvislé se změnou Šablona:Prostrkaně proměnné x nebo y a souvislé se změnou současnou Šablona:Prostrkaně proměnných. První případ neposkytuje nic pojemně nového, jelikož se proměnná, k níž se změna nevztahuje, může považovati soudobně za stálou; a tu jsou tedy příslušné derivace vyjádřeny vzorcem $\frac{\partial z}{\partial x}=\underset{\Delta x=0}{\lim }\frac{F(x+\Delta x,y)-F(x,y)}{\Delta x}$,
$\frac{\partial z}{\partial y}=\underset{\Delta y=0}{\lim }\frac{F(x,y+\Delta y)-F(x,y)}{\Delta y}$.

Takovéto derivace slují Šablona:Prostrkaně čili Šablona:Prostrkaně a označují se zvláštním tvarem litery ∂, jakž poprvé učinil slovutný mathematik Jacobi r. 1841. Druhý případ poskytuje pak úplný differenciál, skládající se ze součtu částečných differenciálů podle vzorce $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$.

A podobně skládá se differenciál funkce n proměnných, x₁, x₂, x₃, …, x_n zvaných, $u=f(x_1,x_2,x_3,\dots ,x_n)$ ze součtu n částečných differenciálů podle jednotlivých těchto proměnných podle vzorce $du=\sum _{k=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_k}d{x}_k$.

Jak se má odvozená funkce k funkci původní, o tom poučuje nás její ráz vůbec a jakost průběhu hodnot odvisle proměnné zvlášť, tak že tu vyskytuje se veliká rozmanitost případů od supposice svrchu stran nepřetržitosti vytčené se odchylujících. Abychom uvedli aspoň jednu různost typickou, ustanovme pro funkci $y=(-a{)}^x$. podle základního pravidla derivaci; budeť tu $\frac{dy}{dx}=\lim \frac{(-a{)}^{x+\Delta x}-(-a{)}^x}{\Delta x}=(-a{)}^x\lim \frac{(-a{)}^{\Delta x}-1}{\Delta x}=(-a{)}^{x}l(-a)$, kdež platí, jak známo, $l(-a)=la+(2k+1)\pi i$, z čehož patrno, že výsledek jest vyjádřen veličinou soujemnou.

D. p. jest vynálezem věku nového. Po některých více méně šťastných pokusech, řešiti všeobecně úkol tangentní a maxima neb minima (v. t.), jakéž poskytl zejména Šablona:Prostrkaně († 1665), sestavil Šablona:Prostrkaně v Němcích, Šablona:Prostrkaně pak v Anglii, každý svým způsobem a skoro současně, zvláštní nauku, jak se z dané funkce nějaké vyvine její funkce odvozená, při čemž ukázáno, jak možno nového algorithmu tohoto, d. p. zvaného, užiti k řešení úkolů dříve jmenovaných. Zároveň pak i řešili úkol obrácený, jak se k danému výrazu differenciálnímu vyhledává neznámá funkce původní, jejíž derivace tedy objevuje se v předloženém výrazu differenciálním, čímž položeny základy [[../Integrální počet|počtu Šablona:Prostrkaně]] (v. t.), pomocí jehož řešeny pak též všeobecně úkoly kvadratury se týkající neboli obrácené úkoly tangentní, jež taktéž v XVII. stol. byly předmětem četných výzkumů mathematických.

Šablona:Prostrkaně byl s vynálezem svým dříve (r. 1666) u cíle sobě položeného, uveřejnil však teprve r. 1687 i theorii i praksi v klassickém spise svém »Šablona:Cizojazyčně«, kdežto Šablona:Prostrkaně již r. 1684 zcela jasnou theorii svou podal ve sborníku vědeckém »Šablona:Cizojazyčně« tehdáž v Lipště vycházejícím a po celém učeném světě rozšířeném v pojednání »Šablona:Cizojazyčně«. A tak se na kontinentě s věcí ujala i Leibnizova terminologie, jako na př. pojmenování Šablona:Prostrkaně (»Newtonova fluxe«), načež další rozvoj počtu tohoto na veličinách nekonečně malých založeného a proto i počtem Šablona:Prostrkaně zvaného proveden zejména důvtipnými pracemi bratří Bernoulliů během st. XVIII., v němž konečně zbudoval slavný Šablona:Prostrkaně svými klassickými spisy »Šablona:Cizojazyčně« (1753) a »Šablona:Cizojazyčně« (1768) tuto nauku v rozměrech na ten čas nejrozsáhlejších. V našem pak století rozšířen obor p. d. zavedením proměnných soujemných, k němuž položil základ napřed Šablona:Prostrkaně (1825) a po něm Šablona:Prostrkaně (1851), tak značně, že od té doby nový rozvoj jeho sluší počítati. Literatura o p. infinitesimálním jednající jest obrovská. V naší řeči se odporučuje: Šablona:Prostrkaně »O původu a rozvoji počtu differenciálního a integrálního«, (v Praze, 1879), a Šablona:Prostrkaně »Základové vyšší mathematiky«, z nichž 1. sv. »O počtu differenciálním« vyšel r. 1878 v II. vyd. Pro první studium se taktéž odporučuje dvojdílný spis Šablona:Prostrkaně »Šablona:Cizojazyčně« nebo velmi stručný, ale přesný Šablona:Prostrkaně »Šablona:Cizojazyčně«, konečně důkladný Bertrand »Šablona:Cizojazyčně« nebo Todhunter »Šablona:Cizojazyčně«. FStd.