Ottův slovník naučný/Binomická poučka

Šablona:Forma Binomická poučka (Šablona:Prostrkaně, theorema binomiale) jest pravidlo, podlé něhož se n-tá mocnina binomu čili dvojčlenu vyjadřuje pomocí mocnitele n a mocnin jednotlivých, binom skládajících členů neboli monomů. Značí-li a binomu člen prvý, b pak člen druhý, platí všeobecně $$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{n}_k{a}^{n-k}{b}^k,(1)$$ při čemž symbolické označení $$n_k=\frac{n(n-1)(n-2)\dots (n-k-1)}{\mathrm{1.2.3}\dots k},n_0=1,(2)$$ jež kratčeji se pomocí [[../Fakulta|fakult (v. t.)]] vyjadřuje tvarem $$n_k=\frac{n^{k-1}}{k^{k|-1}}.$$

Symbol $n_k$, jejž zavedl Šablona:Prostrkaně roku 1820, sluje tu Šablona:Prostrkaně čili Šablona:Prostrkaně (Šablona:Cizojazyčně) a nahrazuje se často tvarem $(n{)}_k$ neb $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, což se čte n s příponou k a n nad k, při čemž arci binomická příslušnost a s ní spojený význam se předpokládá.

Z tohoto významu vzorcem (2) daného plyne, že $$n_k=0\text{pro}k>n,$$ jestli n číslo Šablona:Prostrkaně a Šablona:Prostrkaně, že však $$n_k\gtrless 0\text{pro}k>n,$$ jestli n číslo buď Šablona:Prostrkaně nebo Šablona:Prostrkaně, z čehož jde dále na jevo, že řada binomická, na pravé straně vzorce (1) symbolicky vyjádřená jest v prvním případě Šablona:Prostrkaně obsahujíc $(n+1)$ člen, kdežto v případě druhém jde do Šablona:Prostrkaně.

Jestli tedy n číslo positivní a celistvé, platí $$(a+b{)}^n=a^n+\frac{n}{1}{a}^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1.2}{a}^{n-2}{b}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{\mathrm{1.2.3}}{a}^{n-3}{b}^3+\dots +b^n,$$ podlé čehož možná sestaviti pro zvl. případy $$\begin{array}{cc}(a+b{)}^2& =a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\\ (a+b{)}^4& =a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\end{array}$$ a t. d.

Upravíme-li součinitele binomické od nullté mocniny počínajíc ve tvar trojúhelníkový, vznikne obraze zvaný Šablona:Prostrkaně (viz [[../Arithmetický trojúhelník|Šablona:Prostrkaně]]), z něhož názorem se poznává, jak vznikají následující řádky z předcházejících, tak že se zde zračí vlastnost b. koëfficientů, vyjádřená vzorcem $$n_{k-1}+n_k=(n+1{)}_k;$$ zároveň tu jde na jevo, máme-li na zřeteli řádky šikmo na pravo nebo levo běžící, že představují arithmetické řady tak zv. Šablona:Prostrkaně, a sice $$\begin{array}{ccccc}1,& 1,& 1,& 1,& \dots \\ 1,& 2,& 3,& 4,& \dots \\ 1,& 3,& 6,& 10,& \dots \\ 1,& 4,& 10,& 20,& \dots \end{array}$$ zahrnuté všeobecným tvarem $$n_0,(n+1{)}_1,(n+2),(n+3{)}_3,\dots$$

Konečně ze vzorce (1) patrno, že pro $a=1,b=1$ obdrží se v případě prvém, kde n značí positivní a celistvé číslo, $$n_0+n_1+n_2+n_3+\dots +n_n=2^n,$$ čímž taktéž jedna z vynikajících vlastností b. součinitelů jest vyjádřena.

Poněvadž $$(a+b{)}^n=a^n{(1+\frac{b}{a})}^n=a^n(1+x{)}^n,$$ zavede-li se označení $\frac{b}{a}=x$, patrno, že možno b-ckou p-ku na jednodušší tvar, obsahující jen jeden libovolný člen x, uvésti, a sice na $$(1+x{)}^n=1+n_{1}x+n_2{x}^2+n_3{x}^3+\dots ,$$ kdež řada na pravé straně stojící taktéž do nekonečna jde, značí-li n číslo buď Šablona:Prostrkaně nebo Šablona:Prostrkaně, tak že, aby se jí pak smělo užiti, nutno vyšetřiti, zdali jse Šablona:Prostrkaně čili Šablona:Prostrkaně.

Patříc k nejdůležitějším pravidlům mathematickým má b. p. bohatou literaturu a zajímavé dějiny, v nichž nejvíce vyniká Šablona:Prostrkaně, jenž poprvé vyjádřil vzájemnost b. součinitelů (Arith. int., 1544), načež Šablona:Prostrkaně neodvisle je skládati učil, pak Šablona:Prostrkaně, jímž b. p. zevšeobecněna a hojně upotřebena, tak že často po něm zvána Newtonovou b-ckou p-kou, a konečně Šablona:Prostrkaně, jehož stanovení podmínek konvergence řady binomické do nekonečna jdoucí (1826) dovršilo nauku o složení a jakosti n-té mocniny binomu. F. Std. Šablona:Konec formy