Ottův slovník naučný/Bilineárná forma

Šablona:NavigacePaP Šablona:Textinfo Šablona:Forma Bilineárná forma nazývá se výraz

$F=\sum _{h,k}{a}_{hk}{x}_h{y}_k(h,k=1,2,\dots n).$

Napíšeme-li tudíž soustavu $n^2$ koefficientů $a_{hk}$, t. j.

$\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn},\end{array}$

jest patrno, že jí b. f. úplně jest stanovena, a naopak. Takovouto soustavu $n^2$ prvků nazýváme dle Cayleye maticí n-ho řádu a značíme symbolem $\Vert a_{hk}\Vert$ nebo stručně $A$, tak že

$A=\Vert a_{hk}\Vert$.

Jest patrno, že studium matic usnadní prozkoumání b-ných f-rem. B-nou f-mu lze nyní psáti ve tvaru

$F=\sum _{h=1}^n{x}_{h}A(y{)}_k,$

kde $A(y{)}_k$ značí h-tý element soustavy $A(y)$, t. j. kde

$A(y{)}_h=a_{h1}{y}_1+\dots +a_{hn}{y}_n.$

Matice $\overline{A}=\Vert a{\text{'}}_{hk}\Vert$, v níž $a{\text{'}}_{hk}=a_{kh}$, nazývá se maticí k $A$ konjugovanou čili transponovanou, tak že lze též $F$ psáti ve tvaru

$F=\sum _{h=1}^n{y}_{h}A(x{)}_k.$

Jsou-li nyní $C$ a $D$ dvě matice o $n^2$ elementech, jejichž determinanty jsou různy od nully, lze položiti

$x=C(x^{\prime }),y=D(y^{\prime }),$

t. j. transformovati neurčité $(x)$ a $(y)$ dvěma lineárnými substitucemi na nové neurčité hodnoty $(x^{\prime })$ a $(y^{\prime })$. Jest pak

$\begin{array}{cc}F& =\sum _{h=1}^n{x}_h\overline{C}AD(y^{\prime }{)}_h=\sum _{h=1}^{n}C(x^{\prime }{)}_{h}AD(y^{\prime }{)}_h\\ & =\sum _{h=1}^{n}x{\text{'}}_{h}AD(y^{\prime }{)}_h=\sum _{h=1}^{n}x{\text{'}}_h{A}^{\prime }y{\text{'}}_h,\end{array}$

kde

$A^{\prime }=\overline{C}AD.$

Tuto b-nou f-mu proměnných $(x^{\prime })$ $(y^{\prime })$ nazýváme formou Šablona:Prostrkaně. Hlavní problém b-ných f-rem jest problém současné transformace dvou b-ných f-rem, který vzhledem ku právě podotčenému lze takto formulovati:

Dány jsou dvě matice $P$ a $Q$ a další dvě matice $P^{\prime }$ a $Q^{\prime }$ o $n^2$ elementech; má se rozhodnouti, možno-li stanoviti dvě matice $H$ a $K$ o determinantech různých od nully tak, by platily současně rovnice

$P^{\prime }=HPK,Q^{\prime }=HQK.$

Ze samostatných spisův a důležitých pojednání o b-ných f-mách sluší vytknouti v naší literatuře výtečný spis Ed. Weyra O theorii forem bilineárných (1889), poctěný roku 1889 jub. cenou kr. čes. společnosti nauk v Praze, a podávající vedlé jasného výkladu dosud známých theorií celou řadu nových relací, z nichž některé v „Compt. rend.“, 1884 a 1885, a ve „Věst. kr. čes. spol. nauk v Praze“, 1884 a 1888, byly uveřejněny. Dále buďtež uvedeny: Sylvester, „Phil. Magaz.“ 1851, „Comptes rendes“, sv. 98., 99.; Cayley, „Phil. Transact.“, 1859; Weierstrass, „Monatsber. d. k. preuss. Akademie d. W.“, 1858, 1868; Kronecker, tam., 1874; Jordan, „Journal de Mathématiques pures et appl.“, publié par Liouville, 1874; Darboux, tam, 1874; Frobenius, „Crelles Journal“, 1877; Stickelberger, tam., 1879; Méray, Exposition nouvelle de la théorie des formes linéaires des déterminants (Paříž, 1884). OJž. Šablona:Konec formy