Ottův slovník naučný/Algebra universální a operační

Šablona:NavigacePaP Šablona:Textinfo Šablona:Forma Algebra universální a operační (formal mathematics, universal algebra, calculus of operations, symbolical algebra) jest největším, byť nedokonaným dosud krokem od algebry kvantit a algebry logičné k obecné, formální vědě vztahů smíšených, kvalitativních a kvantitativních, která asi byla ideálem Leibnizovým. A-ru u. umožnily práce uvedené pod Šablona:Prostrkaně a Šablona:Prostrkaně, současně ovšem s přípravným krokem a-ru u. stanovícím. Tato poslední určuje základní vlastnosti různých spojení dvou nebo více pojmů, nechť tyto kterékoli kategorii příslušejí. Představíme-li sobě nějaký aggregát $⌢$ dvou pojmů p a q, tedy $p⌢q$, tož aggregát takový tvoří nový pojem (výraz), obecně buď jediný určitý, nebo neurčitý; v prvém případě sluje aggregát uniformní (jednoznačný) nebo operace uniformní. Záměna pojmů ve spojení dá výraz $q⌢p$ obecně různý od $p⌢q$; je-li stejný, nazývá se spojení kommutativním (záměnným). Týž aggregát může býti dále proveden jako $p⌢q⌢r$ buď dle postupu $(p⌢q)⌢r$ nebo $p⌢(q⌢r)$. Je-li postup lhostejný, nazývá se operace associativní (sdružnou). Konečně může býti různým základní poměr dvou různých operací $⌢$ a $\uparrow$. Ve zvláštních případech jest

buď $(a⌢b)\uparrow c=(a\uparrow c)⌢(b\uparrow c)$, nebo $(a\uparrow b)⌢c=(a⌢c)\uparrow (b⌢c)$.

V prvém případě zove se operace $\uparrow$ distributivní (rozmeznou, rus. raspredělitelnaja) vzhledem k operaci $⌢$, v druhém naopak $⌢$ vzhledem ku $\uparrow$, nebo konečně platí obé; obě slují pak distributivní navzájem (double distributive). Tak v algebře čísel jest násobení distributivní vzhledem ke sčítání, neboť

$(a+b)\text{ × }c=(a\text{ × }c)+(b\text{ × }c)$,

ale obecně

$(a\text{ × }b)+c⪌(a+c)\text{ × }(b+c)$;

v algebře logičné jest sčítání a násobení distributivní navzájem. Pojmu a názvu distributivní a kommutativní užívá již Servois r. 1814; associativnost operací uvažována, ne-li dříve, tož najisto Hamiltonem. V Anglii byla a. o. pěstěna již v létech čtyřicátých, zvláště u mathematiků školy cambridgeské, u Němců sledovali ji Ohm a Grassmann. A. u. uděluje dle obdoby vždy prvé základní operaci znak a jméno sčítání, druhé násobení atd. Algebra, jejíž každý výraz jest redukovatelný v takový »součet« základních pojmů či »jednotek«, zove se Šablona:Prostrkaně. Tak jest de Morganova každá algebra lineární kommutativní algebrou trojic, poněvadž jsou všechny operace kommutativní, a základní jednotky jsou tři. Všechny algebry B. Peirceovy jsou lineární associativní, obecně nekommutativní algebry prostých, dvojic, trojic až šestic. Z téhož algeber čtveřic jest algebra [161²] = (g₄) shodnou s Hamiltonovou algebrou quaternionů. Algeber pětic (pětispřežních) odlišuje B. Peirce sedmdesát. Pro všechny dal jeho syn Charles Peirce příklady ze své logičné algebry vztažných (of Relatives). – Různé ty pokusy snad podaří se spojiti J. J. Sylvestrovi v započatých: Lectures on the Principles of Universal Algebra. Bnš. Šablona:Konec formy